Programma e testi consigliati Matematica corso base

MATEMATICA CORSO BASE - 9 cfu
Obiettivo
Questo primo insegnamento di matematica ha come scopo principale fornire logica e strumenti per la comprensione dei corsi successivi, soprattutto a carattere quantitativo, quali ad esempio statistica, economia, finanza e matematica attuariale.

Utilità
Risultati di apprendimento previsti
Conoscenze acquisite
Gli studenti che abbiano superato l’esame potranno iniziare a pensare ai concetti fondamentali della matematica di base come strumenti essenziali per una comprensione logico/quantitativa della realtà, in particolare di quella economica, base fondante del loro corso di laurea.

Competenze acquisite

Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di risolvere esercizi di media difficoltà di analisi matematica e di algebra lineare, nell’ottica di una competenza quantitativa non astratta ma di tipo applicativo, ovviamente in linea con il loro corso di studi.

Programma

Prerequisiti: Algebra elementare - Equazioni e disequazioni - Potenze ad esponente reale - Logaritmi - Geometria analitica del piano - Cenni di teoria degli insiemi.
Argomenti introduttivi: Sistemi di numerazione e insiemi numerici - Metodo di dimostrazione per induzione - Dimostrazione indiretta o per assurdo - Insiemi di numeri reali - Intorno di un punto.
Successioni: Definizioni. Rappresentazione grafica - Limite di una successione (tutti i casi) - Teorema di unicità del limite - Teorema della permanenza del segno (diretto e inverso) - Teorema del confronto - Teoremi sulle successioni monotòne - Criterio di convergenza di Cauchy - Operazioni sui limiti delle successioni.
Serie: Definizioni e generalità - Serie convergente, divergente, indeterminata - Serie geometrica - Condizione di Cauchy - Serie armonica generalizzata.
Funzioni reali di variabile reale: Limite di una funzione, definizione - Caso del limite e del punto limite finiti. Estensione della definizione ed altri casi di limite - Limite destro e sinistro - Teoremi sui limiti delle funzioni: unicità, permanenza del segno (diretto e inverso), del confronto - Operazioni sui limiti. Operazioni con i simboli di infinito - Funzione continua - Continuità a sinistra e a destra - Continuità in un intervallo - Punti singolari - Teoremi sulle funzioni continue: della permanenza del segno, del massimo e del minimo (di Weierstrass), di esistenza degli zeri, del punto fisso - Funzione composta e funzione inversa - Infinitesimi ed infiniti.
Calcolo differenziale: Definizione di derivata. Relazione con la continuità - Interpretazione geometrica della derivata - Regole di derivazione: teoremi relativi. Derivata di funzioni potenza, esponenziale e logaritmica - Crescenza e decrescenza puntuale e teoremi relativi - Teoremi della media: Rolle, Cauchy, Lagrange - Crescenza e decrescenza in grande e teoremi relativi - Forme indeterminate. Teorema di de L'Hôpital - Differenziale - Derivata della funzione composta e teorema relativo - Derivata della funzione inversa e teorema relativo - Derivata seconda e derivata di ordine successivo - Funzione concava e convessa in un punto - Punti di flesso. Teoremi relativi - Convessità e concavità in grande. Teoremi relativi - Formula di Taylor. Resto, forma di Lagrange - Metodo delle derivate successive per lo studio dei punti stazionari e di flesso. Teoremi relativi - Asintoti - Studio di funzione.
Calcolo integrale: Somme integrali, definizione di integrale e teoremi relativi - Integrale: significato geometrico. Proprietà - Teorema del valore medio - Integrale definito. Teoremi relativi - Funzione integrale - Teorema fondamentale del calcolo integrale - Calcolo dell'integrale definito mediante la primitiva - Integrali indefiniti - Metodi di integrazione indefinita: per scomposizione, per trasformazione, per sostituzione, per parti - Regola per il calcolo degli integrali definiti - Integrazione per scomposizione, per sostituzione e per parti.
Algebra lineare: Vettori - Operazioni con i vettori - Combinazione lineare di vettori - Combinazione lineare convessa di vettori - Spazi e sottospazi vettoriali - Dipendenza ed indipendenza lineare. Teoremi relativi - Rango di un insieme di vettori - Sistema di generatori di uno spazio vettoriale. Base - Teorema di rappresentazione unica - Teorema fondamentale degli spazi lineari - Matrici - Operazioni con matrici e proprietà - Determinante di una matrice - Calcolo dei determinanti. Regola di Sarrus. Primo teorema di Laplace - Minori di una matrice - Caratteristica di una matrice - Teorema di Kronecker - Proprietà dei determinanti - Sistemi di equazioni lineari - Risoluzione di un sistema di equazioni lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer -Sistemi lineari omogenei - Sistemi lineari parametrici – Autovettori e autovalori.
Funzioni reali di due e più variabili reali (cenni): limiti, continuità, derivate parziali e teorema di Schwarz, funzioni omogenee e teorema di Eulero, massimi e minimi liberi, massimi e minimi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Testi:

M. Angrisani, Introduzione alla attività matematica, CISU Edizioni, Roma, 2011;
A. Attias - P. Ferroni, Esercizi svolti di Matematica Generale, CISU Edizioni, Roma, 2003;
S. Bianchi, Appunti di Algebra lineare (dispense disponibili all'indirizzo: http://mat.eco.unicas.it);
Appunti distribuiti durante il corso.